ཚ་ལུ་མ།

  སྤྱིར་བཏང་དུ། མི་མང་ཆེ་བར་རྒྱུས་ང་ཆེ་བའི་གྲངས་ལ་རིགས་གཉིས་ཡོད་དེ། ཕོ་གྲངས(+5，+17.5)དང་མོ་གྲངས(-5，-17.5)གཉིས་ཡིན།  མོ་གྲངས་ནི་དུས་རབས་བར་མར་བྱུང་ཞིང་།  དེས་3-5ལྟ་བུའི་རིགས་ཀྱི་གནད་དོན་ཐག་གཅོད་བྱེད།  དེ་ཡང་། གནའ་མིའི་ལྟ་སྟངས་ལ་ཀུ་ཤུ་གསུམ་གྱི་ནང་ནས་ཀུ་ཤུ་ལྔ་འཐེན་པ་ནི་དཔེ་མི་སྲིད་པ་ཞིག་ཡིན།  འོན་ཀྱང་།  དུས་རབས་བར་མའི་ཚོང་པ་ཚོར་མཚོན་ན།  དངུལ་ཆད་པ་ཟེར་བ་འདིར་གོ་རྟོགས་གསལ་བོ་ཞིག་ཆགས་ཡོད་དེ། “ཁྱེད་ཀྱིས་ང་ལ་ཀུ་ཤུ་ལྔ་སྤྲོད་རོགས།  འོན་ཀྱང་།  ང་ལ་ཀུ་ཤུ་གསུམ་གྱི་རིན་གོང་ལས་སྤྲོད་རྒྱུ་མེད་པས།  ངས་ཁྱེད་ལ་ཀུ་ཤུ་གཉིས་ཀྱི་རིན་གོང་ཆད་ཡོད།”དེ་བས་གོང་གི་འདི་འདྲ་བའི་གནས་ཚུལ་དེ(+3)—(+5)དང་མཚུངས་བས་འདིས་མཚོན་ཆོག

   ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་དེས་འགྲོ་ལུགས་ནན་མོ་ཞིག་གཞིར་བཟུང་སྟེ་ཕན་ཚུན་སྒྱུར་ཆོག་ལ།  ཕོ་གྲངས་དང་ཕོ་་གྲངས་ཕན་ཚུན་སྒྱུར་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ཕོ་ཡིན་ཞིང་།  ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་སྒྱུར་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་མོ་ཡིན།  ཆེས་གལ་བ་ནི་མོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་ཕན་ཚུན་སྒྱུར་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ཕོ་ཡིན།  དེར་བརྟེན། (+1)×(+1)=(+1)(+1)×(-1)=(-1)(-1)×(-1)=(+1)བཅས་བསྒྱུར་བ་ལྟར་ཡིན།  ད་ལྟ་ང་ཚོས་རང་ཉིད་ལ་དྲི་བ་ཞིག་འདྲི་བར་ཆ་བཞག་ན།  གྲངས་ཀ་གང་ཞིག་རང་ཉིད་དང་བསྒྱུར་ན་+1ཐོབ་ཐུབ་བམ།  ཡང་ན།  གྲངས་རིག་གི་བརྡ་ཆད་ངོས་ནསབཤད་ཚེ།  +1གི་རང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ག་ཚོད་ཡིན།

   ལྟ་གྲུབ་འདི་ཐེངས་དང་པོར་འདོན་དུས་སུ།  གྲངས་རིག་པ་ཚང་མས་གྲངས་འདིའི་རིགས་ལ་“དངོས་མེད་གྲངས”ཞེས་བརྗོད་ཡོད།  དེ་ཅིའི་ཕྱིར་ཞེས་ཞེ་ན།  འདི་ལྟ་བུའི་གྲངས་དེ་ཁོ་ཚོར་གོམས་པར་གྱུར་བའི་གྲངས་རིག་པའི་མ་ལག་ཁྲོད་མེད་པའི་ཕྱིར་ཡིན། དོན་དངོས་སུ་དངོས་མེད་གྲངས་འདི་སྤྱིར་བཏང་གི་དངོས་ཡོད་གྲངས་དང་བསྡུར་ན་མི་རྟག་པ་ཞིག་ཡིན་ཟེར་བ་ལ་བདེན་ལུགས་ཉག་ཙམ་ཡང་མི་ལྡན།   {དངོས་མེད་གྲངས}ཟེར་བ་འདི་ལ་ཚགས་དམ་པའི་ཚད་བཀག་གི་རང་བཞིན་ལྡན་ལ།  དེ་མ་ཟད།  སྤྱི་བཏང་གི་དངོས་ཡོད་གྲངས་དང་འདྲ་བར་ཐག་གཅོད་བྱེད་བདེ་བོ་ཡོད་ཀྱང་།  གང་ལྟར་གྲངས་རིག་པ་ཚོས་བསམ་པར་གྲངས་ཀ་འདིའི་རིགས་ལ་མི་རྟག་པའི་རང་བཞིན་ཞིག་ཡོད་པས།  ཆེད་དུ་གྲངས་འདིའི་རིགས་ལ་མཚོན་རྟགས“i”ལྟ་བུ་ཞིག་སྤྲད།  ང་ཚོས་དངོས་མེད་གྲངས་ཕོ་དེ(+i)ལྟར་བྲིས་ཆོག་པ་དང་།  གྲངས་དངོས་མེད་གྲངས་མོ་དེ(-i)ལྟར་བྲིས་ཆོག  འོན་ཀྱང་། (+1)དངོས་ཡོད་གྲངས་ཕོ་ལ་ངོས་འཛིན་ཞིང་།  (-1)དངོས་ཡོད་གྲངས་མོ་ལ་ངོས་བཟུང་ཡོད།  དེ་བས།  ང་ཚོས་-1=±iཡིན་ཞེས་བཤད་ཆོག དངོས་ཡོད་གྲངས་ཀྱི་མ་ལག་དང་དངོས་མེད་གྲངས་ཀྱི་མ་ལག་གཉིས་ཕྱོགས་ཀུན་ནས་ཕན་ཚུན་དོ་མཉམ།  དཔེར་ན +5,  -17.30, +3÷10སོགས་ལྟ་བུའི་དངོས་ཡོད་གྲངས་དང་མཚུངས་མ་ཟད།  ད་དུང+5i, -17.5i, 3i÷10ལ་སོགས་པའི་དངོས་མེད་གྲངས་ཀྱང་ཡོད་ཆོག།  ཐ་ན།  རིའི་དབྱིབས་འབྲི་སྐབས་ཀྱང་དངོས་ཡོད་གྲངས་ཀྱི་མ་ལག་བྲིས་ཆོག  གལ་སྲིད་ཁྱེད་ཀྱིས་0དཀྱིལ་ཐིག་བྱས་ཡོད་པའི་དྲང་ཐིག་ཅིག་གིས་དངོས་ཡོད་གྲངས་ཀྱི་མ་ལག་མཚོན་པར་བྱས་ན།  0གྱི་གཡས་ཕྱོགས་ནི་དངོས་ཡོས་གྲངས་ཕོ་ཡིན་པར་བྱས་ཚེ།  གཡོན་ཕྱོགས་ནི་དངོས་ཡོད་གྲངས་མོ་ཡིན།  སྐབས་འདིར།  0བརྒྱུད་དེ་དྲང་ཐིག་དང་པོའི་དྲང་ཟུར་དང་བསྣོལ་བའི་དྲང་ཐིག་གཉིས་པ་འབྲི་སྐབས།  དྲང་ཐིག་གཉིས་པ་བརྒྱུད་དེ་དངོས་མེད་གྲངས་ཀྱི་མ་ལག་བསྟན་ཆོག  དྲང་ཐིག་གཉིས་པའི་0གྱི་ལོགས་གཅིག་གི་གྲངས་ནི་དངོས་ཡོད་གྲངས་ཕོ་ཡིན་ལ།  ལོགས་གཞན་དེའི་གྲངས་ནི་དངོས་ཡོས་གྲངས་མོ་ཡིན།  དེར་བརྟེན།  གྲངས་རིག་གི་མ་ལག་འདི་གཉིས་མཉམ་དུ་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཚེ།  སྙོམ་ངོས་སྟེང་གི་གྲངས་ཀ་ཚང་མ་སྟོན་ཐུབ་སྟེ།  དཔེར་ན། (+2)+(+3i)འམ་ཡང་ན(+3 )+(-2i)ལྟ་བུ།  གྲངས་ཀ་འདི་དག་ནི་ཚོ་གྲངས་ཡིན།